Question

設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N^*，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）T_n＝3－.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）主要利用等差、等比的概念來求；（Ⅱ）可以構(gòu)造新數(shù)列，則＋＋…＋＝1－為其前項(xiàng)和，通過可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)可求，然后對(duì)其求和；

試題解析：(Ⅰ) 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），則

∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，

∴＝a₂a₁₄，

即(1＋4d)²＝(1＋d)(1＋13d)，

解得d＝0（舍去），或d＝2．

∴a_n＝1＋(n－1)×2＝2n－1．                    4分

（Ⅱ）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N^*，

當(dāng)n＝1時(shí)，＝；

當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－(1－)＝．

∴＝，n∈N^*．

由（Ⅰ），知a_n＝2n－1，n∈N^*，

∴b_n＝，n∈N^*．

又T_n＝＋＋＋…＋，

T_n＝＋＋…＋＋．

兩式相減，得

T_n＝＋(＋＋…＋)－＝－－，

∴T_n＝3－．                         12分

考點(diǎn)：等差、等比的基本概念；錯(cuò)位相減求和.