Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+ax-

5

3

a(a∈R)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=3處的切線方程是y=4x+b，求a，b的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），根據(jù)切線方程y=4x+b得到切線的斜率為4，得到f′（3）=4，代入即可求出a的值，然后把a(bǔ)代入到f（x）確定其解析式，把x=3代入解析式中求出f（3）的值即可得到切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入到切線方程中即可得到b的值；
（2）把（1）中a=-2代入到函數(shù)解析式中得到f（x），然后令f′（x）=0解出x的值，利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；
（3）求出f′（x），分①根的判別式小于等于0即可求出a的取值范圍；②根的判別式大于0時(shí)，得到f′（x）=0的兩個(gè)解設(shè)為x₁、x₂，且x₂＞x₁，根據(jù)韋達(dá)定理可知x2＞

1

2

，根據(jù)方程根的定義得到a的值，代入到f（x）中得到值大于0，列出關(guān)于x₂的不等式，求出解決得到x₂的范圍，根據(jù)a=-x₂²+x₂即可得到a的取值范圍；同理根據(jù)韋達(dá)定理得到x₁＜

1

2

，此時(shí)的f（x）小于0，解出x₁的取值范圍即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）'=x²-x+a，由切線方程y=4x+b得到切線的斜率等于4則把x=3代入到f′（x）中得到f（3）'=4，
代入得9-3+a=4，解得a=-2，
則f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

10

3

，當(dāng)x=3時(shí)，f(3)=9-

9

2

-6+

10

3

=

11

6

，
把f(3)=

11

6

代入y=4x+b，得到12+b=

11

6

，解得b=-

61

6

；
（2）把a(bǔ)=-2代入得到f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+

10

3

由f'（x）=x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1
當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)-1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0；
∴f（x）極大值為f(-1)=

9

2

，f（x）極小值為f（2）=0；
（3）f'（x）=x²-x+a，
①由△=1-4a≤0可得：a≥

1

4

；
②當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)f'（x）=0的根為x₁、x₂，且x₂＞x₁，由x₁+x₂=1得x2＞

1

2

∴由方程根的定義知，a=-x₂²+x₂，f(x)=

1

3

x23-

1

2

x22+x2(x2-x22)-

5

3

(x2-x22)=-

2

3

x23+

13

6

x22-

5

3

x2＞0
∴4x₂²-13x₂+10＜0可得

5

4

＜x2＜2，而a=x₂²-x₂得：-2＜a＜-

5

16

；同理f(x)=-

1

6

x1(4x12-13x1+10)＜0，
∴x₁（x₁-2）（4x₁-5）＞0，即0＜x1＜

5

4

或x₁＞2，由x₁+x₂=1，x2＞

1

2

得：0＜x1＜

1

2

，∴0＜a＜

1

4

；
綜上，a的取值范圍為(-2，-

5

16

)∪(0，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道中檔題，要求學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，掌握函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．以及靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題．