Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx+m，（m∈R），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）≤0對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)m值；
（3）在（2）的條件下，若0＜a＜b，證明：$\frac{f（b）-f（a）}{lnb-lna}$＜1-a．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=m-1-lnm≤0$，設(shè)h（m）=m-1-lnm，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出m的值即可；
（3）m=1時(shí)，設(shè)$\frac{a}=t，t＞1$．由（2）知x＞1時(shí)t-1-lnt＞0恒成立，所以t-1＞lnt＞0，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-m$
若m≤0，則f'（x）＞0（x＞0）恒成立；
若m＞0，則$f'（x）＞0⇒0＜x＜\frac{1}{m}；f'（x）＜0⇒x＞\frac{1}{m}$
綜上m≤0，f（x）在（0，+∞）遞增；
m＞0，f（x）在$（0，\frac{1}{m}）$遞增，則$（\frac{1}{m}，+∞）$遞減．
（2）由（1）知m≤0，f（x）在（0，+∞）遞增，又f（1）=0，
∴x＞0時(shí)f（x）＞0，不符合題意，舍去；
若m＞0，只需$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{m}）=m-1-lnm≤0$，
設(shè)h（m）=m-1-lnm，則$h（m）=1-\frac{1}{m}$，h'（m）＞0⇒m＞1；
h'（m）＜0⇒0＜m＜1h（m）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
⇒h（m）_min=h（1）=0．m＞0且m≠1∴時(shí)，h（m）＞0．
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)h（m）≤（=）0，綜上m=1．
（3）m=1，f（x）=lnx-x+1$0＜a＜b，\frac{f（b）-f（a）}{lnb-lna}=1-a•\frac{{\frac{a}-1}}{{ln\frac{a}}}$，
設(shè)$\frac{a}=t，t＞1$．由（2）知x＞1時(shí)t-1-lnt＞0恒成立，所以t-1＞lnt＞0，
所以$\frac{t-1}{lnt}＞1$，即$\frac{{\frac{a}-1}}{{ln\frac{a}}}＞1$，因?yàn)閍＞0，
所以$1-a•\frac{{\frac{a}-1}}{{ln\frac{a}}}＜1-a$，即$\frac{f（b）-f（a）}{lnb-lna}＜1-a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．