【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù);
(2)若f(x)有兩個極值點x1、x2,證明:f(x1)+f(x2)>3-4ln2.
【答案】(Ⅰ)(ⅰ)時,
僅有一個極值點;(ⅱ) 當
時,
無極值點;
(ⅲ)當時,
有兩個極值點.(Ⅱ)詳見解析
【解析】試題(Ⅰ)先求導數(shù),再確定導函數(shù)零點情況,這需分類討論:一次與二次的討論,二次中有根與無根的討論,兩根情況分相等、一正一負、兩不等正根,最后根據(jù)對應情況確定導函數(shù)符號變化規(guī)律,確定對應極值點個數(shù);(Ⅱ)由(Ⅰ)先確定有兩個極值點時,
的取值范圍,以及
滿足條件,再化簡
為
的函數(shù),最后根據(jù)導數(shù)確定對應函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性證明不等式.
試題解析:解:(Ⅰ)由得,
(ⅰ)時,
,
所以取得極小值,
是
的一個極小值點.
(ⅱ)時,
,令
,得
顯然,,所以
,
在
取得極小值,
有一個極小值點.
(ⅲ)時,
時,即
在
是減函數(shù),
無極值點.
當時,
,令
,得
當和
時
,
時,
,所以
在
取得極小值,在
取得極大值,所以
有兩個極值點.
綜上可知:(ⅰ)時,
僅有一個極值點;
(ⅱ) 當時,
無極值點;
(ⅲ)當時,
有兩個極值點.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當且僅當時,
有極小值點
和極大值點
,且
是方程
的兩根,所以
,
,
設,
,
所以時,
是減函數(shù),
,則
所以得證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求在區(qū)間
上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】(Ⅰ).
令,得
.
與
的情況如上:
所以,的單調(diào)遞減區(qū)間是
,單調(diào)遞增區(qū)間是
.
(Ⅱ)當,即
時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間
上的最小值為
.
當,即
時,
由(Ⅰ)知在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以在區(qū)間
上的最小值為
.
當,即
時,函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間
上的最小值為
.
綜上,當時,
的最小值為
;
當時,
的最小值為
;
當時,
的最小值為
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標軸上,點
為拋物線
上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在
上,過
作
的兩弦
與
,若
,求證: 直線
過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為奇函數(shù),
為偶函數(shù),且
.
(1)求及
的解析式及定義域;
(2)若關(guān)于的不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(3)如果函數(shù),若函數(shù)
有兩個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度)以[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280)[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求直方圖中的值;
(2)用分層抽樣的方法從[260,280)和[280,300)這兩組用戶中確定6人做隨訪,再從這6人中隨機抽取2人做問卷調(diào)查,則這2人來自不同組的概率是多少?
(3)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】按文獻記載,《百家姓》成文于北宋初年,表1記錄了《百家姓》開頭的24大姓氏:
表1:
趙 | 錢 | 孫 | 李 | 周 | 吳 | 鄭 | 王 | 馮 | 陳 | 褚 | 衛(wèi) |
蔣 | 沈 | 韓 | 楊 | 朱 | 秦 | 尤 | 許 | 何 | 呂 | 施 | 張 |
表2記錄了2018年中國人口最多的前10大姓氏:
表2:
1:李 | 2:王 | 3:張 | 4:劉 | 5:陳 |
6:楊 | 7:趙 | 8:黃 | 9:周 | 10:吳 |
從《百家姓》開頭的24大姓氏中隨機選取1個姓氏,則這個姓氏是2018年中國人口最多的前10大姓氏的概率為_____________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
,曲線
C的極坐標方程為
.
(1)求曲線的普通方程和
的直角坐標方程;
(2)設分別交
于點
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為
,離心率為
,過
的直線
與橢圓
交于
兩點,且
的周長為
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓
分別交于
兩點,且
,試問點
到直線
的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,其中常數(shù)
.
(1)當時,求函數(shù)
的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點
,求證:
;
(3)求證: .
選做題:
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