Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$，給出下面三個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，0）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減；
②函數(shù)f（x）沒(méi)有最大值，而有最小值；
③函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不存在零點(diǎn)，也不存在極值點(diǎn)．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）與（x，sinx）點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析三個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）與（x，sinx）點(diǎn)連線的斜率，
∴當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，故①正確；
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→1，而x≠0，故f（x）＜1，即函數(shù)沒(méi)有最大值，
當(dāng)（0，0）與（x，sinx）點(diǎn)連線與y=sin的圖象相切時(shí)，f（x）有最小值，
故函數(shù)f（x）沒(méi)有最大值，而有最小值，
故②正確；
當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，sinx≠0，故f（x）≠0，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上不存在零點(diǎn)，
而x∈（0，π）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，也不存在極值，
故③正確；
故正確的結(jié)論的序號(hào)是①②③，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中正確理解函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$表示（0，0）與（x，sinx）點(diǎn)連線的斜率，是解答的關(guān)鍵．