Question

已知三次函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，則

a+b+c

b-a

的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由題意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，將此代入

a+b+c

b-a

，將式子進(jìn)行放縮，以

b

a

為單位建立函數(shù)關(guān)系式，最后構(gòu)造出運(yùn)用基本不等式的模型使問題得到解決．

解答：解：由題意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即b=4a=4c時(shí)取“=”）
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)工具研究三次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題．