已知等比數(shù)列{an} 的首項a1=2011,公比數(shù)學公式,數(shù)列{an} 前n項和記為sn,前n項積記為數(shù)學公式
(1)證明s2≤sn≤s1
(2)判斷數(shù)學公式數(shù)學公式的大小,n為何值時,數(shù)學公式取得最大值
(3)證明{an} 中的任意相鄰三項按從小到大排列,總可以使其成等差數(shù)列,如果所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次設(shè)為d1,d2,d3,…dn,…,,證明:數(shù)列{dn}為等比數(shù)列.(參考數(shù)據(jù)210=1024)

解:(1)由等比數(shù)列{an} 的首項a1=2011,公比,
得sn==a1[1-],
①n是奇數(shù)時,=-,n=1時,-最小,
②n是偶數(shù)時,=,n=2時,最大,
綜上:s2≤sn≤s1;
(2)∵|π(n)|=|a1a2a3…an|,∴=|an+1|=2011×,
>1>
當n≤10時,|π(n+1)|>|π(n)|;當n≥11時,|π(n+1)|<|π(n)|;
∴|π(n)|max=|π(11)|,但π(11)<0,∵π(10)<0,π(9)>0,π(12)>0,
∴π(n)的最大值是π(9)與π(12)中的較大者,
=a10•a11•a12=>1,
∴π(9)<π(12),
∴當n=12時,π(12)最大;
(3)對an,an+1,an+2進行調(diào)整,|an|隨n增大而減小,{an}奇數(shù)項均為正,偶數(shù)項均為負,
①當n是奇數(shù)時,調(diào)整為:an+1,an+2,an
則an+1+an=a1+a1=a1,2an+2=2a1=a1
∴an+1+an=2an+2,即an+1,an+2,an成等差數(shù)列;
②當n為偶數(shù)時,調(diào)整為:an,an+2,an+1
則an+1+an=a1+a1=a1,2an+2=2a1=a1
∴an+1+an=2an+2,即an,an+2,an+1成等差數(shù)列;
所以{an}中的任意相鄰三項按從小到大排列,總可以使其成等差數(shù)列.
①n是奇數(shù)時,公差dn=an+2-an+1=a1[-]=a1;
②當n為偶數(shù)時,公差dn=an+2-an=a1[-]=a1,
無論n是奇數(shù)還是偶數(shù),都有dn=a1,則=,
∴數(shù)列{dn}是以d1=a1,公比為的等比數(shù)列.
分析:(1)由等比數(shù)列{an} 的首項和公比,利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出數(shù)列{an} 前n項和sn,然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況即可得到sn的最大值和最小值,得證;
(2)由π(n)表示前n項之積,表示出,根據(jù)n等于10時其值大于1,n等于11時其值小于1,得到|π(n)|最大值等于|π(11)|,但是π(11)小于0,而π(10)小于0,π(9)大于0,π(12)大于0,所以π(n)的最大值是π(9)與π(12)中的較大者,利用做商的方法即可判斷出π(n)的最大值是π(12);
(3)設(shè)出數(shù)列{an} 中的任意相鄰三項為:an,an+1,an+2,然后根據(jù)|an|隨n增大而減小,{an}奇數(shù)項均為正,偶數(shù)項均為負,分n為奇數(shù)和偶數(shù)對設(shè)出的三項進行調(diào)整,利用等差數(shù)列的性質(zhì)確定其三項為等差數(shù)列,并求出相應的公差,得到數(shù)列{dn}的通項,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{dn}為等比數(shù)列,得證.
點評:此題考查學生掌握確定數(shù)列為等差、等比數(shù)列的方法,靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值,會利用做商的方法判斷兩式子的大小,是一道中檔題.此題的邏輯性比較強,鍛煉了學生的推理論證的能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

5、已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,公比q≠1,若S5=3a4+1,S4=2a3+1,則q等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}中,a2=9,a5=243.
(1)求{an}的通項公式;
(2)令bn=log3an,求數(shù)列{
1bnbn+1
}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}滿足a1•a7=3a3a4,則數(shù)列{an}的公比q=
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}中a1=64,公比q≠1,且a2,a3,a4分別為某等差數(shù)列的第5項,第3項,第2項.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an}中,a3+a6=36,a4+a7=18.若an=
12
,則n=
9
9

查看答案和解析>>

同步練習冊答案