Question

8．函數(shù)$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若${S_n}＜\frac{m-2003}{2}$對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （I）先得到${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{2{a_n}+3}}$，然后兩邊取倒數(shù)，即可證明$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列；
（II）在（I）的基礎(chǔ)上，求出{a_n}的通項(xiàng)公式，從而得到b_n=a_na_n-1，然后再采用裂項(xiàng)求和的方法求和即可．再利用S_n的單調(diào)性求出S_n的最大值，讓其最大值小于$\frac{m-2003}{2}$．解得求最小正整數(shù)m=2012．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵函數(shù)$f（x）=\frac{3x}{2x+3}$，
∴a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{2}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項(xiàng)為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$，
即a_n=$\frac{3}{2n+1}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n-1•a_n（n≥2）=$\frac{9}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
當(dāng)n=1時(shí)，上式同樣成立．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
∴${S_n}＜\frac{m-2003}{2}$對一切n∈N^*成立，即$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{m-2003}{2}$對一切n∈N^*成立，
又$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）隨n遞增，且$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$≤$\frac{m-2003}{2}$，∴m≥2012，
∴m_最小=2012．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)為載體，考查構(gòu)造法證明等差數(shù)列，考查裂項(xiàng)求和，考查恒成立問題，綜合性強(qiáng)．