Question

17．已知a∈$\left\{{x\left|{{{（{\frac{1}{3}}）}^x}-x=0}\right.}\right\}$，則$f（x）={log_a}^{（{{x^2}-2x-3}）}$的增區(qū)間為（-∞，-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)$y=（\frac{1}{3}）^{x}$和y=x的交點便可得出0＜a＜1，而可看出f（x）是由y=log_at和t=x²-2x-3復合而成的復合函數(shù)，而函數(shù)y=log_at為減函數(shù)，這樣只要求函數(shù)t=x²-2x-3在f（x）定義域內的減區(qū)間便可得出f（x）的增區(qū)間．

解答 解：$y=（\frac{1}{3}）^{x}$和y=x的交點橫坐標x滿足0＜x＜1；
即方程$（\frac{1}{3}）^{x}-x=0$的解x滿足0＜x＜1；
∴0＜a＜1；
令x²-2x-3=t，設y=f（x），則y=log_at為減函數(shù)；
解x²-2x-3＞0得，x＜-1，或x＞3；
∴函數(shù)t=x²-2x-3在（-∞，-1）∪（3，+∞）上的減區(qū)間便是函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點評 考查函數(shù)交點坐標和對應的方程解的關系，對數(shù)函數(shù)的單調性，以及復合函數(shù)的定義，復合函數(shù)單調區(qū)間的求法，二次函數(shù)單調區(qū)間的求法．