(本小題滿分12分)
已知直線:
和橢圓
,橢圓C的離心率為
,連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)形成四邊形的面積為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)直線
與y軸的交點(diǎn)為P,M為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求線段PM長(zhǎng)度的最大值.
(1);(2)
;(3)|
|取得最大值
.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問(wèn)題、兩點(diǎn)間的距離公式、配方法求函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用離心率求出基本量a和b,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),直線與橢圓方程聯(lián)立,消參,由于直線與橢圓交于2個(gè)點(diǎn),所以消參后的方程的判別式大于0,解不等式求出m的取值范圍;第三問(wèn),將m=2代入,直接得到直線的方程,從而得到p點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo),則利用兩點(diǎn)間距離公式可求出
,利用點(diǎn)M在橢圓上,轉(zhuǎn)化x,通過(guò)配方法求函數(shù)的最值.
(1)由離心率,得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/8/wnf56.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
即橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分
(2)由 消
得:
.
所以, 可化為
解得. 8分
(3)由l:,設(shè)
, 則
, 所以
9分
設(shè)滿足
,
則|
因?yàn)?, 所以 11分
當(dāng)時(shí),|
|取得最大值
. 12分
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問(wèn)題、兩點(diǎn)間的距離公式、配方法求函數(shù)最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在橢圓上,
,
,
的面積為
.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在
軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn),且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn),求圓的半徑..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)如圖,橢圓的中心為原點(diǎn)0,離心率e=,一條準(zhǔn)線的方程是x=2
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:=
+2
,其中M、N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為﹣
,
問(wèn):是否存在定點(diǎn)F,使得|PF|與點(diǎn)P到直線l:x=2的距離之比為定值;若存在,求F的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,是拋物線為
上的一點(diǎn),以S為圓心,r為半徑(
)做圓,分別交x軸于A,B兩點(diǎn),連結(jié)并延長(zhǎng)SA、SB,分別交拋物線于C、D兩點(diǎn)。
(1)求證:直線CD的斜率為定值;
(2)延長(zhǎng)DC交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)E,若EC : ED =" 1" : 3,求的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
為短軸的一個(gè)端點(diǎn),
.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,過(guò)右焦點(diǎn),且斜率為
的直線
與橢圓
相交于
兩點(diǎn),
為橢圓的右頂點(diǎn),直線
分別交直線
于點(diǎn)
,線段
的中點(diǎn)為
,記直線
的斜率為
.
求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知雙曲線C:離心率是
,過(guò)點(diǎn)
,且右支上的弦
過(guò)右焦點(diǎn)
.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求弦的中點(diǎn)
的軌跡E的方程;
(3)是否存在以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O?,若存在,求出直線
的斜率k 的值.若不存在,則說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知雙曲線="1"
的兩個(gè)焦點(diǎn)為
、
,P是雙曲線上的一點(diǎn),
且滿足 ,
(1)求的值;
(2)拋物線的焦點(diǎn)F與該雙曲線的右頂點(diǎn)重合,斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F與該拋物線交于A、B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓,過(guò)點(diǎn)
且離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓
的左右頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足
,連接AM交橢圓于點(diǎn)P,在x軸上是否存在異于A、B的定點(diǎn)Q,使得直線BP和直線MQ垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(2013•浙江)如圖,點(diǎn)P(0,﹣1)是橢圓C1:+
=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1,l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A、B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時(shí)直線l1的方程.
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