【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，，三角形是等邊三角形，平面平面，E，F分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由平面平面，可以得到，連接，由角的關(guān)系可求出，由線面垂直的判定定理可以得到平面，進(jìn)而求出平面平面；

（2）過(guò)E作，則，，兩兩垂直，由此可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線與平面所成角的正弦值即可.

（1）三角形是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，又，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以.

連接，因?yàn)?/span>E，F分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以.

又因?yàn)?/span>，所以.

又，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）過(guò)E作，則，，兩兩垂直，

故可如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

在中，易求得，，.

則，，，，.

故，，.

設(shè)平面的法向量為，

由，可取.

則.

故與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】產(chǎn)能利用率是工業(yè)總產(chǎn)出對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的比率，反映了實(shí)際生產(chǎn)能力到底有多少在運(yùn)轉(zhuǎn)發(fā)揮生產(chǎn)作用.汽車(chē)制造業(yè)的產(chǎn)能利用率的正常值區(qū)間為，稱(chēng)為“安全線”.如圖是2017年第3季度到2019年第4季度的中國(guó)汽車(chē)制造業(yè)的產(chǎn)能利用率的統(tǒng)計(jì)圖.以下結(jié)論正確的是（ ）

A.10個(gè)季度中，汽車(chē)產(chǎn)能利用率低于“安全線”的季度有5個(gè)

B.10個(gè)季度中，汽車(chē)產(chǎn)能利用率的中位數(shù)為

C.2018年4個(gè)季度的汽車(chē)產(chǎn)能利用率的平均數(shù)為

D.與上一季度相比，汽車(chē)產(chǎn)能利用率變化最大的是2019年第4季度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓Γ：的離心率為，左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，且A、B分別是其左右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，△PF1F2面積的最大值為4.

（1）求橢圓Γ的方程.

（2）如圖，四邊形ABCD為矩形，設(shè)M為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，直線MC、MD分別交x軸于E、F，且滿足，求證：AB＝2AD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SP，TP的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在斜率為直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且恰是的重心？若存在，求l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】春秋以前中國(guó)已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿——桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末，由于電動(dòng)機(jī)的發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.圖形如圖所示為灌溉抽水管道在等高圖的上垂直投影，在A處測(cè)得B處的仰角為37度，在A處測(cè)得C處的仰角為45度，在B處測(cè)得C處的仰角為53度，A點(diǎn)所在等高線值為20米，若BC管道長(zhǎng)為50米，則B點(diǎn)所在等高線值為( )（參考數(shù)據(jù)）

A.30米B.50米C.60米D.70米

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)），與相切于點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了保障某種藥品的主要藥理成分在國(guó)家藥品監(jiān)督管理局規(guī)定的值范圍內(nèi)，某制藥廠在該藥品的生產(chǎn)過(guò)程中，檢驗(yàn)員在一天中按照規(guī)定每間隔2小時(shí)對(duì)該藥品進(jìn)行檢測(cè)，每天檢測(cè)4次：每次檢測(cè)由檢驗(yàn)員從該藥品生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取20件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)量其主要藥理成分含量（單位：）根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條藥品生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的其主要藥理成分含量服從正態(tài)分布.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示某次抽取的20件產(chǎn)品中其主要藥理成分含量在之外的藥品件數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；

（2）在一天的四次檢測(cè)中，如果有一次出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)異常情況，需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查；如果有兩次或兩次以上出現(xiàn)了主要藥理成分含量在之外的藥品，則需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè).

①下面是檢驗(yàn)員在某次抽取的20件藥品的主要藥理成分含量：

10.02

9.78

10.04

9.92

10.14

9.22

10.13

9.91

9.95

10.09

9.96

9.88

10.01

9.98

10.05

10.05

9.96

10.12

經(jīng)計(jì)算得，，.其中為抽取的第件藥品的主要藥理成分含量，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)本次的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

②試確定一天中需停止生產(chǎn)并對(duì)原材料進(jìn)行檢測(cè)的概率（精確到0.001）.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，，，，.

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