Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（3cosβ，3sinβ），其夾角為60°，則直線xcosα-ysinα+$\frac{1}{2}$=0與圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$的位置關系是相離．

Answer 1

分析 利用向量夾角公式可得：cos60°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．求出圓心到直線的距離與半徑半徑大小即可判斷出位置關系．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα）^{2}}$=2，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{（3cosβ）^{2}+（3sinβ）^{2}}$=3，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=6（cosαcosβ+sinαsinβ）=6cos（α-β）．
∴cos60°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．
由圓（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=$\frac{1}{2}$可得圓心M（cosβ，sinβ），半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
圓心M到直線xcosα-ysinα+$\frac{1}{2}$=0距離d=$\frac{|cosαcosβ+sinαsinβ+\frac{1}{2}|}{\sqrt{co{s}^{2}α+（-sinα）^{2}}}$=1$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線與圓相離．
故答案為：相離．

點評 本題考查了向量夾角公式、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．