已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
4
,an=
an-1
(-1)nan-1-2
(n≥2,n∈N).
(1)試判斷數(shù)列{
1
an
+(-1)n}
是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)bn=
1
an2
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)設(shè)cn=ansin
(2n-1)π
2
,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求證:對(duì)任意的n∈N*,Tn
4
7
分析:(1)根據(jù)題意,對(duì)
1
an
=(-1)n-
2
an-1
進(jìn)行變形可得
1
an
+(-1)n=(-2)[
1
an-1
+(-1)n-1]
,從而證得結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)求出數(shù)列an,從而求得bn,利用分組求和法即可求得結(jié)果;
(3)首先確定出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式,利用放縮的思想將數(shù)列的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮,轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題達(dá)到證明不等式的目的.
解答:解:(1)∵
1
an
=(-1)n-
2
an-1
,
1
an
+(-1)n=(-2)[
1
an-1
+(-1)n-1]

又∵
1
a1
+(-1)=3
,
∴數(shù)列{
1
an
+(-1)n}
是首項(xiàng)為3,公比為-2的等比數(shù)列.
(2)依(1)的結(jié)論有
1
an
+(-1)n=3(-2)n-1
,
an=
(-1)n-1
3•2n-1+1

bn=(3•2n-1+1)2=9•4n-1+6•2n-1+1.
Sn=9•
1•(1-4n)
1-4
+6•
1•(1-2n)
1-2
+n=3•4n+6•2n+n-9

(3)∵sin
(2n-1)π
2
=(-1)n-1

cn=
(-1)n-1
3(-2)n-1-(-1)n
=
1
3•2n-1+1

當(dāng)n≥3時(shí),
Tn=
1
3+1
+
1
3•2+1
+
1
3•22+1
+…+
1
3•2n-1+1
1
4
+
1
7
+
1
3•22
+
1
3•23
+…+
1
3•2n-1
=
11
28
+
1
12
[1-(
1
2
)
n-2
]
1-
1
2

=
11
28
+
1
6
[1-(
1
2
)n-2]<
11
28
+
1
6
=
47
84
48
84
=
4
7

∵T1<T2<T3,
∴對(duì)任意的n∈N*,Tn
4
7
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推公式確定數(shù)列的思想,根據(jù)遞推公式確定出數(shù)列是否滿足特殊數(shù)列的定義,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.第(3)問(wèn)考查學(xué)生的不等式放縮的技巧與方法,關(guān)鍵要將數(shù)列{cn}的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列從而達(dá)到求和證明的目的,屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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