Question

正方體ABCED-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB、AD的中點，則AD₁與EF所成角是（　�。�

• A、45°
• B、30°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，給兩條異面直線賦予向量意義，求出兩個向量的坐標(biāo)，求出兩個向量的數(shù)量積及兩個向量的模，求出兩個向量的夾角，進一步求出兩異面直線的夾角．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1則有
A（1，0，0），D₁（0，0，1），E(1，

1

2

，0)，  F(

1

2

，0，0)
∴

AD1

=(-1，0，1)，

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，0)
∴

AD1

•

EF

=

1

2

∵|

AD1

|=

2

，|

EF

|=

2

2

∴cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1

2

∴＜

AD1

，

EF

＞=60°
故選C．

點評：求兩異面直線的夾角常利用的工具是向量，先將異面直線賦予向量意義，再利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角，根據(jù)異面直線與相應(yīng)的向量的夾角的關(guān)系求出兩異面直線的夾角．