Question

7．有五個(gè)退役運(yùn)動(dòng)員和A，B兩個(gè)教練拍照留念，將這七個(gè)人排成一排，要求兩端都是運(yùn)動(dòng)員．
（1）如果每個(gè)教練的兩側(cè)都是運(yùn)動(dòng)員，那么共有多少種不同的排法？
（2）如果A教練和表現(xiàn)最為突出的運(yùn)動(dòng)員相鄰排在一起，那么共有多少種不同的排法？

Answer 1

分析 （1）利用插空法，先排5個(gè)運(yùn)動(dòng)員，形成了4個(gè)間隔（不包含兩端），將2個(gè)教練插入即可；
（2）利用捆綁法，把A教練和表現(xiàn)最為突出的運(yùn)動(dòng)員捆綁在一起，看作一個(gè)復(fù)合元素和另外的5人全排即可．

解答 解：（1）先排5個(gè)運(yùn)動(dòng)員，形成了4個(gè)間隔（不包含兩端），將2個(gè)教練插入，故有A₅⁵A₄²=1440種，
（2）先排運(yùn)動(dòng)員：不妨設(shè)表現(xiàn)最突出運(yùn)動(dòng)員為甲，
①當(dāng)甲在兩端時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的排列情況有：2×${A}_{4}^{4}$=48種，此時(shí)A教練只能排在甲的內(nèi)側(cè)，B可以排在余下的3個(gè)空位；
所以情況共有：2×${A}_{4}^{4}$×1×3=144種；
②當(dāng)甲不在兩端時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的排法有：${A}_{4}^{4}$×${C}_{3}^{1}$=72種，A與甲相鄰，有兩種排法，B可以排在余下的3個(gè)空位；
所以情況共有：${A}_{4}^{4}$×${C}_{3}^{1}$×2×3=432種
綜上，所有排法共有144+432=576種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了站隊(duì)問題中相鄰問題和不相鄰問題，相鄰用捆綁，不相鄰用插空，屬于中檔題．