【題目】橢圓(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F2,與y軸正半軸交于點B,若△BF1F2為等腰直角三角形,且直線BF1被圓x2+y2=b2所截得的弦長為2,
(1)求橢圓的方程;
(2)直線l:y=kx+m與橢圓交于點A,C,線段AC的中點為M,射線MO與橢圓交于點P,點O為△PAC的重心,求證:△PAC的面積S為定值;
【答案】(1)1;(2)見解析
【解析】
(1)由題意得b=c,BF1=2,求出a、b后即可得解;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),聯(lián)立方程組得,
,由題意x0
,y0
,△PAC的面積
,化簡即可得證.
(1)根據(jù)題意,由△BF1F2為等腰直角三角形可得b=c,
直線BF1:y=x+b被圓x2+y2=b2所截得的弦長為2,即BF1=2,
所以a=2,,所以橢圓的方程為
1;
(2)證明:直線l的方程為y=kx+m,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
x1+x2,x1x2
,y1+y2=k(x1+x2)+2m
,
由題意點O為△PAC重心,設(shè)P(x0,y0),可得0,
0,
所以x0=-(x1+x2),y0=-(y1+y2)
,
代入橢圓1;得
1,化為2m2=1+2k2,
設(shè)坐標原點O到直線l的距離為d,
則△PAC的面積S|AC|3d
|x1﹣x2|
|m||x1﹣x2|
|m|
|m|=3
.
可得△PAC的面積S為定值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三年級有1000人,某次考試不同成績段的人數(shù),且所有得分都是整數(shù).
(1)求全班平均成績;
(2)計算得分超過141的人數(shù);(精確到整數(shù))
(3)甲同學(xué)每次考試進入年級前100名的概率是,若本學(xué)期有4次考試,
表示進入前100名的次數(shù),寫出
的分布列,并求期望與方差.
參考數(shù)據(jù):
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)
①命題“若,則
且
”的否定是“若
,則
且
”
②已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對稱,函數(shù)
為奇函數(shù),則4是
一個周期.
③平面,
,過
內(nèi)一點
作
的垂線
,則
.
④在中角
所對的邊分別為
,若
,則
成等差數(shù)列.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若存在x1<x2,且滿足f(x1)=(x2).證明;
(3)證明:(n∈N).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,點P是側(cè)棱C1C的中點.
(1)求證:AC1∥平面PBD;
(2)求證:BD⊥A1P.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三共有1000位學(xué)生,為了分析某次的數(shù)學(xué)考試成績,采取隨機抽樣的方法抽取了50位高三學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析,得到如圖所示頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 18 | 12 | 6 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算成績在的頻率并計算這組數(shù)據(jù)的平均值
(同組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);
(2)用分層抽樣的方法從成績在和
的學(xué)生中共抽取5人,從這5人中任取2人,求成績在
和
中各有1人的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一種拋硬幣游戲的規(guī)則是:拋擲一枚硬幣,每次正面向上得1分,反面向上得2分.
(1)設(shè)拋擲5次的得分為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
;
(2)求恰好得到分的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點圖(如下圖).
表中,
.
(1)根據(jù)散點圖判斷,與
哪一個更適宜作燒水時間
關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于
的回歸方程;
(3)若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知
為多少時,燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為
,
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點.定義點
的“友好點”為:
,現(xiàn)有下列命題:
①若點的“友好點”是點
,則點
的“友好點”一定是點
.
②單位圓上的點的“友好點”一定在單位圓上.
③若點的“友好點”還是點
,則點
一定在單位圓上.
④對任意點,它的“友好點”是點
,則
的取值集合是
.
其中的真命題是_____.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com