已知函數(shù),且f(1)=1,f(-2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點(diǎn)A(1,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<-1)圖象上的任意一點(diǎn),求|AP|的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)由f(1)=1,f(-2)=4,代入可方程,解方程即可求解a,b得關(guān)于a,b的
(2)由(1)可知,利用兩點(diǎn)間的距離個(gè)公式代入,結(jié)合x(chóng)的范圍可求x+1=t<0,然后結(jié)合基本不等式式即可求解
(3)問(wèn)題即為對(duì)x∈[1,2]恒成立,即對(duì)x∈[1,2]恒成立,則0<m<1或m>2.
法一:?jiǎn)栴}化為對(duì)x∈[1,2]恒成立,mx-m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1,2]恒成立,從而可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解
法二:?jiǎn)栴}即為對(duì)x∈[1,2]恒成立,即對(duì)x∈[1,2]恒成立,0<m<1或m>2.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x-m|≤m對(duì)x∈[1,2]恒成立,令g(x)=x|x-m|,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求
解答:解:(1)由f(1)=1,f(-2)=4.

解得:(3分)
(2)由(1),
所以,
令x+1=t,t<0,

=
因?yàn)閤<-1,所以t<0,
所以,當(dāng)
所以,(8分)
即AP的最小值是,此時(shí),
點(diǎn)P的坐標(biāo)是.(9分)
(3)問(wèn)題即為對(duì)x∈[1,2]恒成立,
也就是對(duì)x∈[1,2]恒成立,(10分)
要使問(wèn)題有意義,0<m<1或m>2.
法一:在0<m<1或m>2下,問(wèn)題化為對(duì)x∈[1,2]恒成立,
對(duì)x∈[1,2]恒成立,mx-m≤x2≤mx+m對(duì)x∈[1,2]恒成立,
①當(dāng)x=1時(shí),或m>2,
②當(dāng)x≠1時(shí),對(duì)x∈(1,2]恒成立,
對(duì)于對(duì)x∈(1,2]恒成立,等價(jià)于
令t=x+1,x∈(1,2],則x=t-1,t∈(2,3],,t∈(2,3]遞增,
,,結(jié)合0<m<1或m>2,
∴m>2
對(duì)于對(duì)x∈(1,2]恒成立,等價(jià)于
令t=x-1,x∈(1,2],則x=t+1,t∈(0,1],
,t∈(0,1]遞減,
,
∴m≤4,
∴0<m<1或2<m≤4,
綜上:2<m≤4(16分)
法二:?jiǎn)栴}即為對(duì)x∈[1,2]恒成立,
也就是對(duì)x∈[1,2]恒成立,(10分)
要使問(wèn)題有意義,0<m<1或m>2.
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x|x-m|≤m對(duì)x∈[1,2]恒成立,
令g(x)=x|x-m|
①若0<m<1時(shí),由于x∈[1,2],故g(x)=x(x-m)=x2-mx,g(x)在x∈[1,2]時(shí)單調(diào)遞增,
依題意g(2)≤m,,舍去;
②若m>2,由于x∈[1,2],故,
考慮到,再分兩種情形:
(。,即2<m≤4,g(x)的最大值是,
依題意,即m≤4,
∴2<m≤4;
(ⅱ),即m>4,g(x)在x∈[1,2]時(shí)單調(diào)遞增,
故g(2)≤m,
∴2(m-2)≤m,
∴m≤4,舍去.
綜上可得,2<m≤4(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式,及基本不等式在求解函數(shù)的 值域中的應(yīng)用,函數(shù)的恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值求解中的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年安徽省黃山市屯溪一中高三(上)第三次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),且f(1)=log162,f(-2)=1.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列xn的項(xiàng)滿足xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],試求x1,x2,x3,x4
(3)猜想數(shù)列xn的通項(xiàng),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年浙江省舟山市岱山縣大衢中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),且f(1)=2,
(1)求a、b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(3)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年安徽省阜陽(yáng)三中高一(上)第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),且f(1)=2,
(1)求a、b的值;
(2)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江西省南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三(上)11月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),且f(1)=1,f(-2)=4.
(1)求a、b的值;
(2)已知定點(diǎn)A(1,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y)是函數(shù)y=f(x)(x<-1)圖象上的任意一點(diǎn),求|AP|的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年廣東省中山實(shí)驗(yàn)高中高一(上)10月段考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),且f(1)=3
(I)求a的值;
(II)判斷函數(shù)的奇偶性;
(III)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并證明.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案