Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中點，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中點．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明平面PBC∥平面ODM，只需證明OM∥平面PBC，OD∥平面PBC，利用線面平行的判定定理可證；
（2）利用V_{三棱錐A-PCD}=V_{三棱錐P-ACD}，可求點A到平面PCD的距離．

解答： （1）證明：由題意，CD∥BO，CD=BO，
∴四邊形OBCD為平行四邊形，
∴BC∥OD．
又∵AO=OB，AM=MP，
∴OM∥PB
又OM?平面PBC，PB?平面PBC，
∴OM∥平面PBC       …（4分）
同理，OD∥平面PBC，
又OM∩OD=O，
∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）
（2）解：設(shè)求點A到平面PCD的距離為d．
∵PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中點，V_{三棱錐A-PCD}=V_{三棱錐P-ACD}
∴

1

3

×

1

2

×4×2

3

×4=

1

3

×

1

2

×4×2

7

×d
∴d=

4

7

21

．…（12分）

點評：本題考查面面平行，考查點到面的距離的計算，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用面面平行的判定定理是關(guān)鍵．