Question

（本題滿(mǎn)分12分）  已知橢圓的左焦點(diǎn)及點(diǎn)，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓上，求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】第一問(wèn)中利用原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離得到橢圓的離心率的值。

由于直線(xiàn)的方程為

然后結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到。

第二問(wèn)中，利用對(duì)稱(chēng)性設(shè)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則對(duì)稱(chēng)性滿(mǎn)足兩點(diǎn)

，可知

再利用點(diǎn)在橢圓上得到橢圓的方程。

解：（1）由點(diǎn)，點(diǎn)及得直線(xiàn)的方程為，即，…………………2分

∵原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

∴………………………………………5分

故橢圓的離心率．   …………………………………6分

（2） 解法一：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則有

 …………………………………………8分

解之，得．

在圓上

∴，

∴……………………………………11分

故橢圓的方程為,

點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………………12分

解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070910500684328006/SYS201207091051174370413916_DA.files/image006.png">關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在圓上，又直線(xiàn)過(guò)

圓的圓心,所以也在圓上, ………7分

從而， ………………………8分

故橢圓的方程為． ………………………………………9分

與關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng),

 …………………………………………10分

解之，得．…………………………………………11分

故點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………………………12分