Question

已知等差數(shù)列{a_n}，的前n項和為S_n，且a₂=2，S₅=15，數(shù)列{b_n}滿足b₁=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，f（n）=

2Sn(2-Tn)

n+2

，試問f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項和公差，得到通項a_n，
將b_n+1=

n+1

2n

b_n整理，得到{

bn

n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的通項即可求出b_n；
（2）運用錯位相減法求出前n項和T_n，化簡f（n），運用相鄰兩項的差f（n+1）-f（n），判斷f（n）的增減性，從而判斷f（n）是否存在最大值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項為a₁，公差為d，
則

a1+d=2 5a1+10d=15

解得a₁=1，d=1，
∴a_n=n，
又

bn+1

n+1

=

bn

2n

，
即{

bn

n

}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴

bn

n

=

b1

1

(

1

2

)n-1，
∴bn=

n

2n

；
（2）由（1）得：Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
相減，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

n+2

2n

，又S_n=

1

2

n（n+1），
∴f(n)=

2Sn(2-Tn)

n+2

=

n2+n

2n

，
∴f(n+1)-f(n)=

(n+1)2+n+1

2n+1

-

n2+n

2n

=

(n+1)(2-n)

2n+1

，
當n＞3時，f（n+1）-f（n）＜0，數(shù)列{f（n）}是遞減數(shù)列，
又f(1)=1，f(2)=

3

2

，f(3)=

3

2

∴f（n）存在最大值，且為

3

2

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和前n項和的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，以及應(yīng)用相鄰兩項的差來判斷數(shù)列的增減，應(yīng)掌握，同時考查基本的運算能力．