Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分貝為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，P為橢圓C上一點(diǎn)，

PF1

•

PF2

的最大值為3，最小值為2．
（1）求橢圓C的方程．
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)（

2

7

，0），且與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
①若直線l與x軸垂直，證明MA⊥NA．
②求證：以MN為直徑的圓過(guò)一定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓上點(diǎn)P的參數(shù)坐標(biāo)，代入

PF1

•

PF2

，求出

PF1

•

PF2

的最大值a²-c²=3，最小值b²-c²=2，結(jié)合隱含條件求得a²=4，b²=3，則橢圓方程可求；
（2）①寫(xiě)出過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0）且與x軸垂直的直線l的方程為x=

2

7

，代入橢圓方程求得M，N的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出

MA

，

NA

的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0得答案；
②設(shè)直線l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求出以MN為直徑的圓方程（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，結(jié)合A（2，0）在圓上得到（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0，再由于M，N在直線l上化縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)，聯(lián)立
直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系解得m=-2k 或 m=-

2k

7

．驗(yàn)證m=-2k時(shí)不合題意，求得當(dāng)m=-

2k

7

時(shí)直線l過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0）．

解答： 解：（1）利用橢圓的參數(shù)方程，
設(shè)P（acosθ，bsinθ），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則：

PF1

•

PF2

=（-c-acosθ，-bsinθ）•（c-acosθ，-bsinθ）
=（acosθ+c）（acosθ-c）+（bsinθ）²
=a²cos²θ-c²+b²（1-cos²θ）
=（a²-b²）cos²θ+（b²-c²）．
則當(dāng)cos²θ=1時(shí)，

PF1

•

PF2

取最大值a²-c²=3，
當(dāng)cos²θ=0時(shí)，

PF1

•

PF2

取最小值b²-c²=2，
又a²=b²+c²，
聯(lián)立以上幾式解得：a²=4，b²=3．
則橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）①證明：直線l過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0），且與x軸垂直，
則l的方程為x=

2

7

，代入橢圓方程得：M（

2

7

，

12

7

），N（

2

7

，-

12

7

），
又A（2，0），
∴

MA

=(

12

7

，-

12

7

)，

NA

=(

12

7

，

12

7

)，
則

MA

•

NA

=

12

7

×

12

7

-

12

7

×

12

7

=0，
∴MA⊥NA；
②設(shè)直線l：y=kx+m，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則以MN為直徑的圓方程：
（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
由于C的右頂點(diǎn)A（2，0）在圓上，
則：（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0，
x₁x₂+4-2（x₁+x₂）+y₁y₂=0  （*）．
由于M，N在直線l上，
則：y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
代入（*）得：
(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0  （#）．
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
則：x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
代入（#）得：(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(mk-2)•(-

8km

3+4k2

)+m²+4=0．
整理得：4k²+16km+7m²=0．
即（2k+m）（2k+7m）=0．
解得：m=-2k 或 m=-

2k

7

．
又∵m=-2k時(shí)，l：y=kx+m=k（x-2）恒過(guò)C的右頂點(diǎn)A（2，0），
故m=-2k（舍去），
則m=-

2k

7

．
l：y=kx-

2k

7

=k（x-

2

7

），
即直線l過(guò)定點(diǎn)（

2

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線與圓錐曲線，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解，考查了計(jì)算能力，是壓軸題．