[
]∪[
]
分析:設出弦所在的直線方程,代入拋物線y
2=4x化簡,利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求得 x
1+x
2=2+
.根據(jù)弦的長度不超過8,結(jié)合拋物線的定義可得|AB|=2+x
1+x
2≤8,由此求得k的范圍.再由圓心(0,0)到弦所在的直線 kx-y-k=0的距離小于或等半徑,求得k的范圍.最后把這2個k的范圍取交集,可得k的準確范圍.由于k的范圍就是tanα的范圍,再由0≤α<π求得α的范圍.
解答:拋物線y
2=4x的焦點為F(1,0),當α=90°時,|AB|=2p=4<8,故不滿足條件,
故α≠90°.
設弦所在的直線方程為 y=k(x-1),即 kx-y-k=0,代入拋物線y
2=4x可得 k
2x
2-(2k
2+4)x+k
2=0,
∴x
1+x
2=2+
.
由于弦長度不超過8,且由拋物線的定義可得|AB|=2+x
1+x
2,∴2+
≤6,k
2≥1,
故有 k≤-1,或 k≥1 ①.
再由弦所在的直線與圓
有公共點,可得圓心(0,0)到弦所在的直線 kx-y-k=0的距離小于或等半徑,
即
≤
.
解得-
≤k≤
,且 k≠0 ②.
由①②可得 1≤k≤
,或-
≤k≤-1,即 1≤tanα≤
或-
≤tanα≤-1.
再由 0≤α<π可得,α的范圍是[
]∪[
,
],
故答案為[
]∪[
,
].
點評:本題主要考查直線和圓的位置關系,拋物線的定義和標準方程的應用,三角不等式的解法,屬于中檔題.