對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數(shù)有且僅有兩個不動點、，且。

（1）試求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）已知各項均為負的數(shù)列滿足，求證：；

（3）設，為數(shù)列的前項和，求證：。

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 

（1）設

                ∴     ∴

           由

           又∵    ∴     ∴    …… 3分 

           于是

           由得或；   由得或

           故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，

單調減區(qū)間為和                       ……4分

（2）由已知可得，     當時，

     兩式相減得

∴或

當時，，若，則這與矛盾

∴     ∴                       ……6分

于是，待證不等式即為。為此，我們考慮證明不等式

令則，

再令，     由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知                  ……10分

所以，，即         ……11分

（3）由（2）可知   則

     在中令n=1,2,3…………..2010并將各式相加得

    

     即                                          ……14分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2012屆湖南省漣源一中高三第四次月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

對于函數(shù) ，若存在，使成立，則稱為的不動點．如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0，2，且．
（1）    求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）    已知數(shù)列各項不為零且不為1，滿足，求證：；
設，為數(shù)列的前項和，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省高三第一次調研考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

對于函數(shù)，若存在，使，則稱是的一

個＂不動點＂.已知二次函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的不動點；

（2）對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標是的不動點，

且兩點關于直線對稱，求的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖南省高三第四次月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

對于函數(shù) ，若存在，使成立，則稱為的不動點．如果函數(shù)有且僅有兩個不動點0，2，且．

（1）     求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）     已知數(shù)列各項不為零且不為1，滿足，求證：；

設，為數(shù)列的前項和，求證：

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江西省高三第二次月考試卷理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分14分）對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數(shù)有且僅有兩個不動點、，且

 

。

 

（1）試求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）已知各項均為負的數(shù)列滿足，求證：；

 

（3）設，為數(shù)列的前項和，求證：。

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：云南省2010-2011學年高三數(shù)學一輪復習測試：函數(shù)（1） 題型：解答題

 對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點.如果函數(shù)有且僅有兩個不動點、，且.試求函數(shù)的單調區(qū)間；

 

 

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