拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．
分析：依題意，設(shè)拋物線方程為y2=2px，可求得過焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線方程為y=-x+
1
2
p，利用拋物線的定義結(jié)合題意可求得p，從而可求得拋物線方程；同理可求拋物線方程為y2=-2px時(shí)的結(jié)果．
解答：解：如圖所示，依題意，設(shè)拋物線方程為y2=2px，則直線方程為y=-x+
1
2
p．設(shè)直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
p
2
+x2+
p
2
，（4分）
即x1+
p
2
+x2+
p
2
=8．①
又A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線和直線的交點(diǎn)，
由
y=-x+
1
2
p
y2=2px
消去y，得x2-3px+
p2
4
=0，
∵△=9p2-4×
p2
4
=8p2＞0．
∴x1+x2=3p．
將其代入①得p=2，
∴所求拋物線方程為y2=4x．
當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2=-2px（p＞0）時(shí)，
同理可求得拋物線方程為y2=-4x．
故所求拋物線方程為y2=4x或y2=-4x．（8分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，突出拋物線定義得應(yīng)用，考查方程組思想與化歸思想的綜合運(yùn)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與直線BC交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F（1，0），求證：直線AB過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)實(shí)軸長為4
3
的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

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