拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．
分析：依題意，設拋物線方程為y2=2px，可求得過焦點且傾斜角為135°的直線方程為y=-x+
1
2
p，利用拋物線的定義結合題意可求得p，從而可求得拋物線方程；同理可求拋物線方程為y2=-2px時的結果．
解答：解：如圖所示，依題意，設拋物線方程為y2=2px，則直線方程為y=-x+
1
2
p．設直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，過A、B分別作準線的垂線，垂足分別為C、D．
則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x1+
p
2
+x2+
p
2
，（4分）
即x1+
p
2
+x2+
p
2
=8．①
又A（x1，y1）、B（x2，y2）是拋物線和直線的交點，
由
y=-x+
1
2
p
y2=2px
消去y，得x2-3px+
p2
4
=0，
∵△=9p2-4×
p2
4
=8p2＞0．
∴x1+x2=3p．
將其代入①得p=2，
∴所求拋物線方程為y2=4x．
當拋物線方程設為y2=-2px（p＞0）時，
同理可求得拋物線方程為y2=-4x．
故所求拋物線方程為y2=4x或y2=-4x．（8分）
點評：本題考查拋物線的標準方程，突出拋物線定義得應用，考查方程組思想與化歸思想的綜合運用，考查分析與運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點，其焦點F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內相交于點A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案