Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．
（1）求四棱錐F-ABCD的體積V_F-ABCD．
（2）求證：平面AFC⊥平面CBF．
（3）在線段CF上是否存在一點M，使得OM∥平面ADF，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意求出四棱錐F-ABCD的高，然后求四棱錐F-ABCD的體積V_F-ABCD．
（2）要證平面AFC⊥平面CBF．只需證明AF垂直平面CBF內的兩條相交直線BC、BF即可；
（3）在線段CF上是存在一點M，取CF中點記作M，設DF的中點為N，連接AN，MN，MNAO為平行四邊形，即可說明OM∥平面ADF．

解答：解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°
作FG⊥AB交AB于一點G，則FG=1×sin60°=

3

2

∵平面ABCD⊥平面ABEF
∴FG⊥面ABCD（3分）
所以VF-ABCD=

1

3

×FG×SABCD=

1

3

×

3

2

×2×1=

3

3

（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，
∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，
∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；
（3）取CF中點記作M，設DF的中點為N，連接AN，MN
則MN

∥ .

.

1

2

CD，又AO

∥ .

.

1

2

CD，則MN

∥ .

.

AO，
所以MNAO為平行四邊形，（10分）
∴OM∥AN，
又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
∴OM∥平面DAF． （12分）

點評：本題是中檔題，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的性質，平面與平面垂直的判定，常考題型．