Question

已知等比數(shù)列{a_n}中a₁=64，公比q≠1，且a₂，a₃，a₄分別為某等差數(shù)列的第5項，第3項，第2項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件知a₂-a₃=2（a₃-a₄）．即a₁q-a₁q²=2（a₁q²-a₁q³），從而可求q，進而可求通項公式
（Ⅱ）由（I）可得，b_n=log₂a_n=7-n．利用等差數(shù)列的求和公式可得，前n項和Sn=

n(13-n)

2

．
求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．需要判定b_n的正負，而當1≤n≤7時，b_n≥0，T_n=S_n
當n≥8時，b_n＜0，T_N=b₁+b₂+…b₇-b₈-b₉…-b_n=2S₇-S_n，代入可求

解答：解：（Ⅰ）由條件知a₂-a₃=2（a₃-a₄）．（2分）
即a₁q-a₁q²=2（a₁q²-a₁q³），又a₁•q≠0．
∴1-q=2（q-q²）=2q（1-q），又q≠1．∴q=

1

2

．（4分）
∴an=64•(

1

2

)n-1=(

1

2

)^n-7．（6分）
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=7-n．{b_n}前n項和Sn=

n(13-n)

2

．
∴當1≤n≤7時，b_n≥0，∴Tn=Sn=

13n-n2

2

．（8分）
當n≥8時，b_n＜0，T_N=b₁+b₂+…b₇-b₈-b₉…-b_n
=2S7-Sn=42-

n(13-n)

2

=

n2-13n+84

2

．（11分）
∴Tn=

13n-n2 2 ，1≤n≤7且n∈N* n2-13n+84 2 ，n≥8且n∈N*(12分).

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的和公式的應用解題中要注意靈活利用基本公式．