Question

（2006年安徽卷）已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)和任何實數(shù)，都有

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明 其中和均為常數(shù)；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設，討論在內的單調性并求極值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析。（Ⅱ）見解析。

（Ⅲ）當時，函數(shù)在內取得極小值，極小值為

【解析】

試題分析：分析：（Ⅰ）抽象函數(shù)通過賦值法求解.

（Ⅱ）通過賦值，構做的關系.

（Ⅲ）利用（Ⅱ）中關系，表示出，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性與極值性.

證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。

（Ⅱ）①令，∵，∴，則。

假設時，，則，而，∴，即成立。

②令，∵，∴，

假設時，，則，而，∴，即成立。∴成立.

（Ⅲ）當時，，

令，得；

當時，，∴是單調遞減函數(shù)；

當時，，∴是單調遞增函數(shù)；

所以當時，函數(shù)在內取得極小值，極小值為

考點：本題主要考查分段函數(shù)、抽象函數(shù)及導數(shù)在研究單調性方面的應用。

點評：在抽象函數(shù)的求值和求解析式中要注意通過賦特殊值構造求解關系.