Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且在［0，+∞）上為增函數(shù)，

（1）求證：函數(shù)在（-∞，0）上也是增函數(shù)；

（2）如果f（）=1，解不等式-1＜f（2x+1）≤0.

Answer 1

解析：證明函數(shù)的單調(diào)性，通常利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；對(duì)抽象不等式，常把常數(shù)看成某些變量的函數(shù)值，再利用函數(shù)的性質(zhì)去“外層包裝”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.

（1）證明：設(shè)x₁、x₂是（-∞，0］上任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，

則-x₁，-x₂∈［0，+∞），且-x₁＞-x₂，Δx=x₂-x₁＞0，Δy=f（x₂）-f（x₁）.

∵f（x）是奇函數(shù)，且在［0，+∞）上是增函數(shù)，-x₁＞-x₂，

∴f（-x₁）＞f（-x₂）.

又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x₁）=-f（x₁），

f（-x₂）=-f（x₂）.

∴-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），

即Δy=f（x₂）-f（x₁）＞0.

∴函數(shù)f（x）在（-∞，0］上也是增函數(shù).

（2）解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，f（-）=-f（）=-1.

由-1＜f（2x+1）≤0，得f（-）＜f（2x+1）≤f（0）.

又∵f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，∴-＜2x+1≤0，

得-＜x≤-.

∴不等式的解集為{x|-＜x≤-}.