Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)=mx²+nx+t的圖象過(guò)原點(diǎn)，g(x)=ax³+bx-3(x＞0)，f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為f′(x)，g′(x)，且f′(0)=0，f′(-1)=-2，f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，
(1)求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極小值；
(3)是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：(1)由已知得t=0，f′（x）=2mx+n，
則f′(0)=n=0，f′（-1）=-2m+n=-2，
從而n=0，m=1，
∴f(x)=x²，，
由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1)，得a+b-3=1，3a+b=2，
解得a=-1，b=5，
∴。
(2)，
求導(dǎo)數(shù)得，
∴F(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，
從而F(x)的極小值為F(1)=0．
(3)因f(x)與g(x)有一個(gè)公共點(diǎn)(1，1)，而函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，1)的切線方程為y=2x-1，
下面驗(yàn)證都成立即可．
由得，知f(x)≥2x-1恒成立；
設(shè)h（x）=-x³+5x-3-（2x-1），即h(x)=-x³+3x-2（x＞0），
求導(dǎo)數(shù)得h′(x)=-3x²+3=-3(x-1)(x+1)(x＞0)，
∴h（x）在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，
所以h（x）= -x³+5x-3-（2x-1）的最大值為h(1)=0，
所以-x³+5x-3≤2x-1恒成立，
故存在這樣的實(shí)常數(shù)k和m，且k=2，m=-1。