Question

12．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，給出下列命題中正確的命題序號(hào)是①③
①對(duì)任意的x₁，x₂，當(dāng)x₁-x₂=π時(shí)，f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是單調(diào)遞增；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）成中心對(duì)稱；
④將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{5π}{12}$個(gè)單位后將與y=sin2x的圖象重合．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），它的周期為π，
故對(duì)任意的x₁，x₂，當(dāng)x₁-x₂=π時(shí)，f（x₁）=f（x₂）成立，故①正確．
區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞減，故②不正確；
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí)，f（x）=0，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）成中心對(duì)稱，故③正確；
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{5π}{12}$個(gè)單位后，得到y(tǒng)=2cos[2（x+$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+$\frac{7π}{6}$）
=-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
顯然它的圖象與y=sin2x的圖象不重合，故④不正確，
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．