Question

已知偶數(shù)f（x）以4為周期，且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在區(qū)間[-6，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）•log₂（|x|+2）=0（a＞1）恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的周期性

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定函數(shù)在區(qū)間[-6，6]內(nèi)的解析式，利用函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）在區(qū)間[-6，6]上恰有4個(gè)交點(diǎn)，可得恰有4個(gè)交點(diǎn)的條件是log_a（6+2）＜3，即可求出a的取值范圍

解答： 解：設(shè)x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，∴f（-x）=（

1

2

）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵f（x）以4為周期，∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，x-4∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=（

1

2

）^x-4-1；及當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，x-4∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區(qū)間[-6，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（|x|+2）=0（a＞1）恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）在區(qū)間[-6，6]上恰有4個(gè)交點(diǎn)，
∴恰有4個(gè)交點(diǎn)的條件是log_a（6+2）＜3解得a＞2．
因此所求的a的取值范圍為a＞2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，有難度．