Question

設0＜a＜1，函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（3）當f（x）＞0時，求x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得 ＞0，即（x+1）（x-1）＞0，解得 x＜-1，或＜x＞1，
故函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）由于的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），關于原點對稱，
且滿足f（-x）===-=-f（x），
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）當f（x）＞0時，∵0＜a＜1，∴，即 ，
解得 x＜-1，故x的取值范圍（-∞，-1）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得 ＞0，解此分式不等式求得函數(shù)的定義域．
（2）由于函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由題意可得 ，即 ，解不等式組求的x的取值范圍．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，函數(shù)的奇偶性的定義和判斷方法，分式不等式的解法，屬于中檔題．