Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)B在直線(xiàn)上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷以為直徑的圓與直線(xiàn)PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件解得a,b值，（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），解得D點(diǎn)坐標(biāo)，即得以BD為直徑的圓圓心坐標(biāo)以及半徑，再根據(jù)直線(xiàn)PF方程，利用圓心到直線(xiàn)PF距離與半徑大小關(guān)系作判斷.

（Ⅰ）依題可知B（a，0），a=2，因?yàn)?/span>，所以c=1，

故橢圓C的方程為．

（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．

證明如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則

①當(dāng)x0=1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，±），直線(xiàn)PF的方程為x=1，

D的坐標(biāo)為（2，±2）．

此時(shí)以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．

②當(dāng)≠1時(shí)直線(xiàn)AP的方程為，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為，BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，故

直線(xiàn)PF的斜率為，

故直線(xiàn)PF的方程為，即，

所以點(diǎn)E到直線(xiàn)PF的距離,故以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．

綜上得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF相切．