Question

9．一箱子中有若干個(gè)大小形狀完全相同的球，球的顏色有四種，分別是紅色、黃色、藍(lán)色、白色．從中任意摸出一個(gè)球，記錄下顏色后放回，這樣的一個(gè)過程稱為摸一次球．現(xiàn)在已知摸一次球摸到的是紅球的概率為$\frac{2}{5}$．連續(xù)摸三次球，紅、黃、藍(lán)三種顏色的球都被摸到的概率為$\frac{2}{15}$，紅、黃、藍(lán)三種顏色的球都沒有被摸到的概率為$\frac{1}{10}$，且黃球被摸到的概率大于藍(lán)球被摸到的概率．
（Ⅰ）求摸一次球時(shí)，摸到的球是黃球和藍(lán)球的概率；
（Ⅱ）連續(xù)摸三次球，摸出的球的顏色是紅、黃、藍(lán)色球的總的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）摸一次球時(shí)，摸到的球分別是黃球和藍(lán)球的概率分別為x，y，依題意列出方程組，由此能求出摸到的球分別是黃球和藍(lán)球的概率．
（Ⅱ）依題意X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）摸一次球時(shí)，摸到的球分別是黃球和藍(lán)球的概率分別為x，y，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{5}xy=\frac{2}{15}\\ \frac{3}{5}（1-x）（1-y）=\frac{1}{10}\end{array}\right.$
因?yàn)閤＞y，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
所以摸到的球分別是黃球和藍(lán)球的概率分別為$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）依題意X=0，1，2，3，
因?yàn)?P（X=0）=\frac{1}{10}$；$P（X=3）=\frac{2}{15}$；
$P（X=1）=\frac{2}{5}（1-\frac{2}{3}）（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}+（1-\frac{2}{5}）×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{11}{30}$；
$P（X=2）=1-[P（x=0）+P（x=1）+P（x=3）]=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$
故所求X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{11}{30}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{15}$

所以$EX=0•\frac{1}{10}+1•\frac{11}{30}+2•\frac{2}{5}+3•\frac{2}{15}=\frac{37}{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．