Question

12．已知f（x）=2sinx+cosx，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同零點(diǎn)α、β，則cos（α+β）=（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $-\frac{4}{5}$
• D． $-\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 由題意可得 m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα-2sinβ=cosβ-cosα，運(yùn)用和差化積公式和同角的基本關(guān)系式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：∵α、β是函數(shù) g（x）=2sinx+cosx-m在（0，π）內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，
即α、β是方程2sinx+cosx=m在（0，π）內(nèi)的兩個(gè)解，
∴m=2sinα+cosα=2sinβ+cosβ，即 2sinα-2sinβ=cosβ-cosα，
∴2×2×cos$\frac{α+β}{2}$ sin$\frac{α-β}{2}$=-2sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{β-α}{2}$，∴2cos$\frac{α+β}{2}$=sin$\frac{α+β}{2}$，
∴tan$\frac{α+β}{2}$=2，∴cos（α+β）=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{1-4}{1+4}$=-$\frac{3}{5}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法，考查三角函數(shù)的恒等變換，同角基本關(guān)系式的運(yùn)用，屬于中檔題．