Question

設(shè)，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

f(－1)=a－b，f(1)=a＋b，一方面，由條件知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，因此可確定字母a、b的范圍，進(jìn)而求出f(－2)的范圍；另一方面，由f(－1)、f(1)，可求出，，進(jìn)而用f(－1)、f(1)表示出f(－2)，從而求出f(－2)的范圍，兩方面所求結(jié)論是否相同呢？如果不同，哪方面出現(xiàn)了問題？下面，我們來具體研究一下． 解法1：1≤f(－1)=a－b≤2，2≤f(1)=a＋b≤4． 兩式相加，得3≤2a≤6，． 又－2≤b－a≤－1，2≤b＋a≤4， ∴0≤2b≤3．∴． ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0． ∴3≤f(－2)=4a－2b≤12． 解法2：由f(－1)=a－b，f(1)=a＋b， 得． ∴f(－2)=4a－2b=f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6． 又2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10． 比較上述兩種解法，所得結(jié)果分別為3≤3f(－2)≤12與5≤f(－2)≤10．顯然結(jié)果不同，為什么呢？考慮條件1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得到的是1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4這兩個結(jié)論，顯然a、b兩字母是相互聯(lián)系的整體而并不獨立存在著，如果確定出a、b的各自范圍，，那么，即0≤f(－1)≤3，，這與條件矛盾了！因此，解法1方法錯了，本題的答案應(yīng)該是5≤f(－2)≤10． 總結(jié)本題，可知：如果條件是多個字母相關(guān)連(如和、差、積、商等)的范圍，在求解與這些字母有關(guān)代數(shù)式范圍時，我們利用整體代換的方式，把要求范圍的代數(shù)式用已知代數(shù)式表示，再利用不等式性質(zhì)求解，這種整體思想要注意把握和運用．