已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），右頂點(diǎn)為（
3
，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)）．求k的取值范圍．
（1）設(shè)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=
3
，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1．
（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），
則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1-3k2
，由
OA
•
OB
＞2得xAxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2
)=(k2+1)xAxB+
2
k(xA+xB)+2=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2=
3k2+7
3k2-1
．
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
-3k2+9
3k2-1
＞0，解此不等式得
1
3
＜k2＜3．②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范圍為(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
②試問(wèn)：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點(diǎn)為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足|
F1Q
|=2a，點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)
（1）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點(diǎn)Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關(guān)系是（　　）
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線方程y2=4x，過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（　　）
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知圓內(nèi)接四邊形中，則四邊形的面積為           .

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同步練習(xí)冊(cè)答案