Question

一艘輪船1小時(shí)的燃料費(fèi)P元與速度v（公里/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為P=kv³．已知速度為每小時(shí)10公里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)5元，而其它和速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)80元．
（1）求k的值；
（2）已知甲，乙兩地相距100公里，問該輪船以多大的速度行駛時(shí)，從甲地行駛到乙地所需的費(fèi)用總和為最��？

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)關(guān)系式P=kv³．速度為每小時(shí)10公里時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)5元，求出比例系數(shù)即可；
（2）根據(jù)題設(shè)要求設(shè)出行駛總費(fèi)用與速度之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)去求函數(shù)的最小值即可．

解答：解．（1）1小時(shí)的燃料費(fèi)P元與速度v（公里/小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為p=kv³．
又∵5=k•10³，∴k=0.005．…（4分）
（2）由（1）得p=0.005v³，（v＞0）
設(shè)從甲地行駛到乙地所需的費(fèi)用總和為y元，
則y=

100

v

(0.005v3+80)=0.5v2+

8000

v

．（v＞0）…（6分）
∴y′=v-

8000

v2

，由y′=0，得v=20（公里/小時(shí)）．      …（9分）
又∵當(dāng)v＜20時(shí)，y′＜0；當(dāng)v＞20時(shí)，y′＞0．
∴當(dāng)速度為20公里/小時(shí)時(shí)，航行所需的費(fèi)用總和為最小，最小值為600元．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是實(shí)際應(yīng)用題，考查建立函數(shù)模型的能力，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究給定區(qū)間上函數(shù)的最值問題，是高考的�？贾�識(shí)點(diǎn)．