Question

19．在△ABC中$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{CA}=\overrightarrow$，則下列推導(dǎo)正確的是②③④⑤
①若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，則△ABC是鈍角三角形；
②若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，則△ABC是直角三角形；
③若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，則△ABC為等腰三角形；
④若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，則△ABC為直角三角形；
⑤若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{c}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，則△ABC是正三角形．

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的定義和夾角，即可判斷①；
運(yùn)用向量垂直的條件，即可判斷②；
運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷③；
運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，即可判斷④；
由③的結(jié)論，即可判斷⑤．

解答 解：對(duì)于①，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0，即有$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$＞0，則cosC＞0，C為銳角，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即有$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$=0，則cosC=0，C為直角，故②對(duì)；
對(duì)于③，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，即有$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，即為-（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，即有|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，故③對(duì)；
對(duì)于④，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，即為|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|，兩邊平方可得$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=0，即有$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，故④對(duì)；
對(duì)于⑤，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}$，由③可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{c}$|，同理由$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，即有△ABC為正三角形，故⑤對(duì)．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件和向量的平方即為模的平方，屬于中檔題和易錯(cuò)題．