Question

4．已知函數(shù)$f（x）=a+\frac{2}{{{2^x}-1}}$（a∈R）；
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，用定義給出證明；
（3）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在求出a，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用分母不為0，函數(shù)f（x）的定義域；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)遞減，用定義進行證明；
（3）假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由（1）可知函數(shù)f（x）的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，1則對定義域內(nèi)的任意x有f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，列出方程，即可求出a．

解答 解：（1）由2^x-1≠0解得x≠0，
所以函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}…2分
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)遞減；   …3分
證明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-1）-2（{2^{x_1}}-1）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，∴$（{2^{x_2}}-1）＞0，（{2^{x_2}}-1）＞0$，${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)遞減．…7分
（3）假設(shè)存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
由（1）可知函數(shù)f（x）的定義域{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，
則對定義域內(nèi)的任意x有f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0
所以$a+\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}+a+\frac{2}{{{2^x}-1}}=0$，得2a-2=0解得a=1
所以存在實數(shù)a=1使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…12分

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，其中熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及證明方法是解答的關(guān)鍵．