Question

下列對(duì)于函數(shù)y=sinx+cosx的命題中，正確命題的序號(hào)為

 

．
①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

；②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

3

4

π，0)對(duì)稱．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)函數(shù)y=sinx+cosx為

2

sin（x+

π

4

），確定函數(shù)的值域，判斷①的錯(cuò)誤；找出特殊值判斷②；函數(shù)的對(duì)稱軸判斷③的正誤；(

3

4

π，0)代入函數(shù)成立，說(shuō)明④正確．

解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），α∈(0，

π

2

)時(shí) y∈（1，

2

]，因?yàn)?span id="d7hd9z9" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

4

3

∈（1，

2

]，所以①正確．
f（x+α）=f（x+3α）說(shuō)明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，顯然②不正確；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對(duì)稱軸，適當(dāng)平移即可滿足題意，所以正確．
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

3

4

π，0)對(duì)稱，當(dāng)x=

3π

4

時(shí)f（

3π

4

）=0，滿足題意，所以正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題目，考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠充分利用已知條件，靈活解題是關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．