Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定義：使乘積a₁•a₂•…•a_k為正整數(shù)的k（k∈N^*）叫做“簡易數(shù)”．則在[1，2012]內(nèi)所有“簡易數(shù)”的和為

2036

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+1）；然后根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-1；最后由等比數(shù)列前n項和公式解決問題．

解答：解：a_n=log_n（n+1）=

log2(n+1)

log2n

，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=1×

log23

log22

×

log24

log23

×

log25

log24

×…×

log2(k+1)

log2k

=log₂（k+1），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，
∴k+1必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2012]內(nèi)所有的“簡易數(shù)”的和：
M=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=

2(1-210)

1-2

-10=2036，
故答案為：2036．

點評：本題在理解新定義的基礎(chǔ)上，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項和公式，其綜合性、技巧性是比較強的．