Question

（2013•保定一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長線交⊙O于N，過N點(diǎn)的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM²=PA•PC；
（2）⊙O的半徑為2

3

，OM=2，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）連接ON，則ON⊥PN，由半徑相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切線的性質(zhì)和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，進(jìn)而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割線定理即可證明；
（2））在Rt△BMO中，由勾股定理可得BM=4，再利用△BND∽BOM，可得BN即可．

解答：（1）證明：連接ON，則ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切線，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，∴PM═PN．
∵PN為⊙O的切線，∴PN²=PA•PC，∴PM²=PA•PC．
（2）在Rt△BMO中，BM=

OB2+OM2

=

(2 3 )2+22

=4．
延長BO交⊙O與點(diǎn)D，連接DN，
則△BND∽BOM，于是

BO

BN

=

BM

BD

，
∴

2 3

BN

=

4

4 3

，得BN=6．
∴MN=BN-BM=6-4=2．

點(diǎn)評：本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、切割線定理、三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．