Question

已知f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
（1）設g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）設?（x）=g（x）-λf（x），試問是否存在實數(shù)λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．

Answer 1

解：（1）由題意可知：
f（x）=x²+C，且f[f（x）]=f（x²+1）
∴（x²+c）²+c=（x²+1）²+c
∴x⁴+2cx²+c²=x⁴+2x²+1
∴，解得：c=1．
∴f（x）=x²+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函數(shù)g（x）的解析式為：g（x）=x⁴+2x²+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x²+1、g（x）=x⁴+2x²+2，
∵?（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，∴θ′（x）=4x³+2（2-λ）x
假設存在使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．
則θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此時：θ（x）=x⁴-2x²-2，∴θ′（x）=4x³-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故滿足題意．
所以存在λ=4使的?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)．
分析：（1）結合條件充分利用復合函數(shù)內函數(shù)的值域是外函數(shù)的定義域的特點整體代入，進而即可獲得一個多項式方程，利用對應系數(shù)相等即可獲得問題的解答；
（2）利用第一問的結論即可化簡函數(shù)?（x）=g（x）-λf（x），得：θ（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，又因為實數(shù)λ，使?（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，并且在（-1，0）上是增函數(shù)，所以導函數(shù)在-1處的函數(shù)值為零進而求得參數(shù)λ，注意最后驗證即可．
點評：本題考查的是函數(shù)解析式的求法及恒成立知識的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了復合函數(shù)的知識、對應系數(shù)相等的技巧、導數(shù)的知識以及恒成立問題的解答規(guī)律．值得同學們體會和反思．