Question

數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求、、；
（Ⅱ）求的表達(dá)式；
（Ⅲ）令，求．

Answer 1

（Ⅰ）、、；
（Ⅱ）
（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）由遞推公式即可求出、、；（Ⅱ）方法一：猜想出通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；方法二：由遞推公式可以構(gòu)造等比數(shù)列，借助等比數(shù)列可以求出通項(xiàng)公式；方法二：由遞推公式可以構(gòu)造等差數(shù)列，借助等差數(shù)列可以求出通項(xiàng)公式；.
（Ⅰ）由遞推公式：、、；                       3分
（Ⅱ）方法一：猜想：，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：   
① ，猜想成立；
② 假設(shè)時(shí)，，
則，即時(shí)猜想成立，
綜合①②，由數(shù)學(xué)歸納法原理知：．                   8分
方法二：由得，
所以：．                               8分
方法三：由得：，兩式作差得：，
于是是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，那么，
且是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，那么，
綜上可知：．                            8分
（Ⅲ）
             10分
．                     12分.