Question

己知集合A={l，2，3，…，2n}，（n∈N*），對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，則稱S具有性質(zhì)P．
（1）當(dāng)n=10時，試判斷集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由．
（2）當(dāng)n=2014時，
①若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={4029-x|x∈S}是否一定具有性質(zhì)P？說明理由；
②若集合S具有性質(zhì)P，求集合S中元素個數(shù)的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（1）對于任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到集合B中的兩個元素b₁=10，b₂=10+m，使|b₁-b₂|=m，這便得出集合B不具有性質(zhì)P，根據(jù)性質(zhì)P的定義可判斷集合C具有性質(zhì)P；
（2）容易判斷出集合T⊆A，因?yàn)镾具有性質(zhì)P，所以存在不大于2014的正整數(shù)m，使得S中任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，這樣便可得到，對于集合T中任意一對元素t₁=4029-x₁，t₂=4029-x₂，使得|t₁-t₂|≠m，所以集合C具有性質(zhì)P，要求集合S元素個數(shù)的最大值，只需把含最多元素的集合S找出來即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n=10時，A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；
∵對于任意不大于10的正整數(shù)m，都可以找到集合B中兩個元素b₁=10，b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立；
∴集合B不具有性質(zhì)P；
集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質(zhì)P；
∵可取m=1＜10，對于集合C中任意一對元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*；
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1；
即集合C具有性質(zhì)P；
（2）當(dāng)n=2014時，A={1，2，3，…，4027，4028}；
①若集合S具有性質(zhì)P，則集合T={4029-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P：
任取t=4029-x₀∈T，x₀∈S；
∵S⊆A，∴x₀∈{1，2，3，…，4028}；
∴1≤4029-x₀≤4028，即t∈A，∴T⊆A；
由S具有性質(zhì)P知，存在不大于2014的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m；
對于上述正整數(shù)m，從集合T中任取一對元素t₁=4029-x₁，t₂=4029-x₂，x₁，x₂∈S，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m；
∴集合T具有性質(zhì)P；
②設(shè)集合S有k個元素，由①知，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={4029-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P；
任給x∈S，1≤x≤4028，則x與4029-x中必有一個不超過2014；
∴集合S與T中必有一個集合中至少存在一個元素不超過2014；
不妨設(shè)S中有t（t≥

k

2

）個元素b₁，b₂，…，b_t不超過2014；
由集合S具有性質(zhì)P知，存在正整數(shù)m≤2014，使得S中任意兩個元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m；
∴一定有b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∉S；
又b_t+m≤2014+2014=4028，故b₁+m，b₂+m，…，b_t+m∈A；
即集合A中至少有t個元素不在子集S中，∴k+

k

2

≤k+t≤4028，所以k+

k

2

≤4028，解得k≤2685；
當(dāng)S={1，2，…，1342，1343，2687，…，4027，4028}時：
取m=1343，則易知對集合S中任意兩個元素y₁，y₂，都有|y₁-y₂|≠1343；
即集合S具有性質(zhì)P，而此時集合S中有2685個元素；
∴集合S元素個數(shù)的最大值是2685．

點(diǎn)評：考查集合與元素的概念，子集的概念，以及對于新概念的理解與應(yīng)用能力．