Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，且x≥0，f（x）=2^x-2•

x

，又a是函數(shù)g（x）=ln（x+1）-

2

x

的正零點，則f（-2），f（a），f（1.5）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（1.5）＜f（a）＜f（-2）
• B、f（-2）＜f（1.5）＜f（a）
• C、f（a）＜f（1.5）＜f（-2）
• D、f（1.5）＜f（-2）＜f（a）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：先結(jié)合零點定理獲得a與1.5和2的關(guān)系：1.5＜a＜2，然后利用求導獲得函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再有單調(diào)性即可獲得問題的解答．

解答： 解：當a＞0時，易知g（x）為增函數(shù)，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-

4

3

＜lne-1=0，
于是由零點存在定理可知在區(qū)間（1.5，2）內(nèi)g（x）存在零點，
再由單調(diào)性結(jié)合題意可知a就為這個零點，因此有1.5＜a＜2．
又當x≥0時，直接求導即得f′（x）=2^xln2-

1

x

，
于是當x＞1時，我們有f'（x）＞2ln2-1=ln2²-1＞lne-1=0，
由此可見f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增，可見必有f（1.5）＜f（a）＜f（2），
而又由于f（x）為偶函數(shù)，所以f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故選A．

點評：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合類問題．在解答時充分體現(xiàn)了零點定理、導數(shù)知識的靈活應用．其中數(shù)形結(jié)合的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想在題目中也得到了充分的展現(xiàn)．值得同學們體會和反思．