Question

已知正方體內接于球O，則所有正方體的表面及球O的球面都相切的最大的球的體積之和與球O的體積之比為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離,球

分析：假設正方體棱長是1，則其對角線為

3

，由正方體的對角線即為球的直徑，可得球O的半徑，再由六個與正方體的表面及球O的球面都相切的最大的球，半徑則為

1

2

×（

3

2

-

1

2

），再由球的體積公式，計算即可得到．

解答： 解：假設正方體棱長是1，則其對角線為

3

，
則球O的半徑為

3

2

，
則六個與正方體的表面及球O的球面都相切的最大的球的半徑為

1

2

×（

3

2

-

1

2

）=

3 -1

4

，
則其總體積為6×

4π

3

×（

3 -1

4

）³=

3 3 -5

4

π，
而球O的體積為

4π

3

•（

3

2

）³=

3

2

π，
則其比值為

3 3 -5

2 3

=

9-5 3

6

．
故答案為：（9-5

3

）：6．

點評：本題考查正方體與外接球的關系，考查球與正方體的表面和球面相切的關系，考查球的條件公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．