Question

設(shè)f（x）=

1+ax

1-ax

且a≠1），函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x-y=0對稱．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式及定義域；
（2）設(shè)關(guān)于x的方程loga

t

(x2-1)(7-x)

=g(x)在[2，6]上有實數(shù)解，求t的取值范圍；
（3）當a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，說明函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=f（x）互為反函數(shù)．可以根據(jù)函數(shù)y=f（x）的表達式解出x=f^-1（y），再將xy互換，可得函數(shù)y=g（x）的解析式，根據(jù)真數(shù)大于0，得出其定義域；
（2）根據(jù)（1）的表達式，可以將原方程轉(zhuǎn)化為：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，在x∈[2，6]時有解．將此等式整理，得t=（x-1）²（7-x），利用求導數(shù)的方法，列表得出t關(guān)于x函數(shù)的單調(diào)性，從而得出t在x∈[2，6]時的值域，即可求出原方程有解時的t的取值范圍；
（3）結(jié)合（1）的表達式得，g（k）=ln

k+1

k-1

，利用對數(shù)的基本性質(zhì)將不等式左邊合并化簡為ln

n(n+1)

2

，當n≥2時不等式的左邊恒大于0，而不難得出不等式的右邊為

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2時恒成立．故原不等式成立．

解答：解：（1）由題意，得函數(shù)所以由f（x）=

1+ax

1-ax

解出x，得x=loga

y+1

y-1

所以函數(shù)y=g（x）=loga

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
由

x+1

x-1

＞0，得定義域為：（-∞，-1）（1，+∞）；
（2）原方程變?yōu)椋?span id="0edcqgh" class="MathJye">loga

t

(x2-1)(7-x)

=loga

x+1

x-1

等價于：

t

(x2-1)(7-x)

=

x+1

x-1

，x∈[2，6]
整理，得t=（x-1）²（7-x），其中2≤x≤6
求導可得：t′（x）=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t′（x）	9	+	0	-	15
t（x）	5	增	極大值32	減	25

由表格得，當x=5時函數(shù)t（x）取最大值32，當x=2時，t（x）取最小值5
因為原方程在[2，6]上有實數(shù)解，所以t的取值范圍為：[5，32]；
（3）a=e，結(jié)合（1）得，g（k）=loge

k+1

k-1

=ln

k+1

k-1

所以

n

k=2

g(k)=ln

3

1

+ln

4

2

+ln

5

3

+…+ln

n-1

n-3

+ln

n

n-2

+ln

n+1

n-1

=ln(

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

)=ln

n(n+1)

2

原不等式等價于：ln

n(n+1)

2

＞

2-n-n2

2n•(n+1)

先看左邊，在n≥2時ln

n(n+1)

2

≥ln3＞0
注意到右邊為

2-n-n2

2n•(n+1)

=

(1-n)(2+n)

2n•(n+1)

≤0，在n≥2時恒成立
所以左邊大于右邊，
故不等式

n

k=2

g(k)＞

2-n-n2

2n•(n+1)

成立

點評：本題考查了反函數(shù)的解析式的求法、函數(shù)與方程以及不等式的證明等知識點，屬于中檔題．解題過程中用到了導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和含有對數(shù)的不等式的處理，是一道綜合性較強的題．