Question

18．已知函數(shù)f（x）=log_a $\frac{x-3}{x+3}$，g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），設(shè)f（x）和g（x）的定義域的公共部分為D，
（1）求集合D；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)．若不等式g（x-$\frac{1}{6}$）-f（2x）＞2在D內(nèi)恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)[m，n]?D時(shí)，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求定義域即可；
（2）整理不等式得a＜$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，構(gòu)造函數(shù)g（t）=$\frac{（3t+2）（t+6）}{6t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）+$\frac{10}{3}$，求出g（t）的最小值；
（3）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在3，+∞）上遞增，g（x）在3，+∞）上遞增，不合題意，舍去；
當(dāng)0《a＜1時(shí)，f（x）在3，+∞）上遞減，g（x）在3，+∞）上遞減，構(gòu)造m，n是f（x）=g（x）的兩根，利用二次方程有解求出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?br />$\frac{x-3}{x+3}$＞0，
∴x＞3或x＜-3；
g（x）的定義域?yàn)椋?br />x-1＞0，
∴x＞1，
∴集合D為（3，+∞）；
（2）1+log_a（x-$\frac{7}{6}$）-log_a$\frac{2x-3}{2x+3}$＞2，
∴l(xiāng)og_a$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$＞1，
∴a＜$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，
設(shè)h（x）=$\frac{（6x-7）（2x+3）}{6（2x-3）}$，t=2x-3，
∴g（t）=$\frac{（3t+2）（t+6）}{6t}$=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{4}{t}$）+$\frac{10}{3}$，
∴g（t）＞g（3）=$\frac{11}{2}$，
∴1＜a≤$\frac{11}{2}$．
（3）f（x）=log_a（1-$\frac{6}{x+3}$），μ（t）=1-$\frac{6}{x+3}$在（3，+∞）上遞增，μ（3）=0，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在3，+∞）上遞增，g（x）在3，+∞）上遞增，
  當(dāng)m＜n時(shí)，g（m）＜g（n），不合題意，舍去；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在3，+∞）上遞減，g（x）在3，+∞）上遞減，
由f（m）=g（m），f（n）=g（n），
∴m，n是f（x）=g（x）的兩根，
∴$\frac{x-3}{x+3}$=a（x-1），
∴ax²+（2a-1）x-3a+3=0，
∴m+n＞6，mn＞9，
∴a＜$\frac{1}{8}$，
又m+n＞2$\sqrt{mn}$，
∴a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a＞$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
又△＞0，（2a-1）²-4a（3-3a）＞0
∴a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a＞$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∴0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法，恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，對(duì)參數(shù)a的討論問(wèn)題．